시계열 분해 (decompose) 방법 – 시계열 분석

시계열 분해 방법

기본적으로 시계열 분해 방법은 decompose와 같이 분해 하는 방법이다.  두 가지 type(adaptive, multi)로 decompose 하는 방법이 있다.

시계열 분해 방법은 추세와, 계설성과, 나머지 랜덤형태의 분해를 하는 것이다.

승법모형 분해와 가법 모형 분해가 있다.

승법 시계열분해 모형

$z_{t} = T_{t} \times S_{t} \times C_{t} \times I_{t}$ 형태로 크게 4가지 형태로 구성된다.

$T_{t}$ :  추세요인

$S_{t}$ :  계절요인

$ C_{t}$ :  순환요인

$I_{t}$ : 불규칙 요인

4가지 요인을 하나씩 추정을 한다.

추세순환요인($T_{t}C_{t}$)의 계산

– d개항 이동평균(d-trem moving average)-d 가 홀수 일 대 주로 적용

$MA_{t,d} = \dfrac{z_{t-m} + z_{t-m-l} + \cdot \cdot + z_{t} + \cdot \cdot + z_{t+m}}{d}$

만약 데이터가 (10,15,20,12,18,9,6,10,19,….) 일 때, 나의 위치가 2번째 위치 일 때. 좌우(10,15,20)를 묶어 평균을 구하고, 3번째 위치일 때 (15,20,12)를 묶어 이동 평균을 구한다.  4,5,6,7… 번째 에도 똑같이 평균을 구한다.

– 중심화 된 d 개항 이동평균-d 가 짝수일 때 주로 적용

$CMA_{t,d}=\dfrac{1}{2}[\dfrac{1}{d}(\sum_{j=-d/2+l}^{d/2}z_{t+j-1}) + \dfrac{1}{d}(\sum_{j=-d/2+l}^{d/2}z_{t+j})]$ 의 식으로 평균을 만든다.

월별자료의 경우 중심화된 12개월 이동평균을 구하게 되면 계절변동과 단기변동이 제거된 계열이 계산이 되고, $CMA_{t,12}$는 $T_{t}C_{t}$의 추정치가 된다.

– 계절요인($S_{t})$ 계산

$S_{t}I_{t} = \dfrac{z_{t}}{T_{t}C_{t}} = \dfrac{z_{t}}{CMA_{t,l}}$ 이고 $\hat{S_{t}} = (\dfrac{12}{\sum_{t=1}^{12}\bar{S_{t}}}) \times \bar{S_{t}}$ 여기서  $\bar{S_{t}}$는 t월의 평균이이다. (\dfrac{12}{\sum_{t=1}^{12}\bar{S_{t}}}) 는 계절요인의 합이 12가 되도록 표준화 한다.

– 추세요인($T_{t}$) 계산

$d_{t} = \dfrac{z_{t}}{\hat{S_{t}}}$ 원계열로 부터 계절요인을 제거한 계열이다. 시도표등을 이용하여 $d_{t}$의 추세를 확인하여 t에 대한 1차, 혹은 2차 회귀모형을 적합하여 추세요인에 대한 추정치르 계산한다. $d_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}t + \epsilon_{t}$

– 순환요인$(C_{t})$ 계산

순환불규칙변동 요인의 추정치 계산 : $\hat{CI_{t}} = \dfrac{z_{t}}{\hat{T_{t} \times \hat{S_{t}}}$

순환불규칙변동 $\hat{CI_{t}}$ 의 3개 이동평균을 구하여 이를 순환요인의 추정치를 결정한다.

$\hat{CI_{t}} = (\hat{CI}_{t-1}+\hat{CI}_{t}+\hat{CI}_{t+1})/3$

– 불규칙요인$(I_{t})$ 계산

$\hat{I}_{t}=\dfrac{\hat{CI}_{t}}{\hat{C}_{t}}$  로 모형화를 통한 순환요인을 계산한다. 순환요인이 패턴을 가지고 있는 경우 삼각함수를 이용한 회귀분석을 이용하여 순환요인에 대한 모형화가 가능하다.

처음에는 TC를 추정했다가 그 값으로 S를 추정하고 S를 이용하여 T를 추정한다. S와 T값을 구했으니 이 값을 가지고 C값을 추정한다. T, S, C 값을 추정했으니 나머지 값이 I 값이 된다.

가법 시계열분해 모형

$z_{t} = T_{t} + S_{t} + C_{t} + I_{t}$ 형태로 크게 4가지 형태로 구성된다.

– 추세+순환 요인 계산

중신화된 d개 항 이동평균을 계산하여 이를 추세+순환요인으로 한다.

$T_{t}+C_{t} = CMA_{t,d}$

– 계절+불규칙 요인 계산

$S_{t}+I_{t} = z_{t} – CMA_{t,d}$

– 계절 요인 계산

$z_{t} – CMA_{t,d}$ 계열에 대한 계절별 평균치를 구하여 그 합이 0이 되도록 조정하여 계절요인의 추정치를 계산한다.

$\hat{S}_{t} = \bar{S}_{t}-\sum_{t=1}^{d}\dfrac{\bar{S}_{t}}{d}$

– 추세요인 계산

$z_{t} – \hat{S}_{t}$ 를 계산하여 이를 t에 대한 회귀모형을 적합하여 $\hat{T}_{t}$를 계산

순환요인 계산

$C_{t} + I_{t} = z_{t} – CMA_{t,d}$을 3개항 이동평균을 구하여 순환요인의 추정치 계산

– 불규칙 요인 계산

$I_{t} = z_{t} – (T_{t}-S_{t})-C_{t}$

 

 

참고자료 : https://otexts.com/fppkr/decomposition.html

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