단위근 차분 – 시계열분석

단위근 차분

기존에는 ACF, PACF 를 통해서 ARIMA 의 차수를 정하는 것을 확인하였는데, 만약에 차분을 한다면 몇번을 해야하는지 확인하는게 단위근 을 테스트하는것이다.

추세선 + 정상성과정 + 잡음과정 으로 시계열 자료가 된다.

정상과정은 ARIMA 모형으로 구현하고, 잡음과정은 GARCH 모형에 의해 구현한다. 추세선은 단위근 검정으로 통하여 모형 반영여부를 판단한다.

추세정상과 확률추세

시계열의 추세는 추세정상과 확률적 추세로 구분하고 단위근 검정을 통하여 확률적 추세의 유무를 결정할 수 있다

추세를 가지는 시계열 모형은 정상성 가정을 위반함으로 반드시 추세를 제거하여 정상성을 유지해야 한다.

AR(1) 모형은 $Z_{t} = \phi Z_{t-1} + a_{t}$ 이고 $\phi=1$ 이면 Random Walk 인 시계열이 된다. 이때는 정상적인 ARIMA 모형을 사용할 수 없어 차분을 진행해야한다.

차분을 해야 할지 말아야 할지는 AR(1) 모형을 봤을 때 $\phi$ 가 1인지 아닌지를 확인해야 한다.

단위근 검정

$H_{0} : \phi = 1$ vs $H_{1} : \phi \ne 1$

귀무가설 하에서 AR(1) 과정을 따르는 시계열은 확률보행과정이 되고 분산이 발산하게 되어 t-분포를 이용한 검정을 수행할 수 없게 된다.

Random Walk 같은 경우

$Cov(z_{t}, z_{t-k} = (t-k)\sigma^{2}$

$Corr(z_{t},z_{t-k}) = \dfrac{(t-k)\sigma^{2}}{\sqrt{t\sigma^{2}(t-k)\sigma^{2}}} = \sqrt{\dfrac{(t-k)}{t}}$

t값이 증가하면 공분산은 무한대로증가하고 Corr도 1이 된다.

Corr 이 1이 되는지 Cov 가 무한대가 되는지 테스트를 하게 된다.

DF 검정법(Dickey-Fuller test), ADF(Augmented Dickey-Fuller test), PP(Phillips Perron test) 등이 있다.

– Dickey-Fullr검정법

DF test 는 AR(1) 인 경우에 가능하다.

$\phi$에 대한 OLS 추청치는 $\hat{\phi} = \dfrac{\sum_{t=1}^{T}z_{t}z_{t-1}}{\sum_{t=1}^{T}z^{2}_{t-1}}$ 가 되고 단위근이 존재한다는 귀무가설 하에서의 검정통계량 $t = \dfrac{\hat{\phi} -1}{\sqrt{Var(\hat{\phi})}}$ 는 t-분포를 따르지 않는다.

귀무가설과 대립가설은 $H_{0} : \gamma = 0, H_{1} : \gamma < 0$(단측검정) 이다.

3가지 모형을 가정한다.

$\nabla z_{t} = \gamma_{t-1} + a_{t}$

$\nabla z_{t} = \alpha + \gamma z_{t-1} + a_{t}$ 절편이 추가된 경우

$\nabla z_{t} = \alpha + \gamma z_{t-1} + \beta_{t} + a_{t}$ 시간추세와 단위근이 함께 존재하는 경우

$H_{0} : \gamma = 0$ 에 대한 검정은 $z_{t} = \phi z_{t-1} + a_{t}$에서 $H_{0} : \phi = 1$에 대한 검정과 동일하다

– DF test 를 위한 통계량

$\tau = \dfrac{\hat{\gamma}}{\sqrt{Var(\hat{\gamma})}}$

– Augmented DF test 검정법

ADF 검정은 AR(p) 모형에서 단위근 검정을 수행한다. ADF검저에서는 DF 검정에서 사용하였던 세가지 모형이 다음과 같은 형태로 바뀌게 된다.

ADF 검정은 AR(p) 모형에서 차수 p가 알려져 있다고 가정한다. 따라서 모형의 차수가 실제 차수와 틀린경우 잘못된 검정을 수행할 수 있다. -> Ng와 Perron의 방법에 의하여 적당히 큰 p 를 고려한 후 하나씩 줄여나가면서 p를 결정한다.

DF 검정에서 발행하는 문제점과 해결

MA(q) 과정을 따르는 모형은 AR(%infty%) 모형으로 변환이 가능하며 적당히 큰 차수 $n = T^{\frac{1}{3}}$ 을 잡으면 ARMA(p,q) 모형은 AR(n) 모형의 표현으로 가능하다.

AR(p)에서 차수 p의 결정은 모형의 차수가 실제 차수와 틀린 경우 잘못된 검정을 수행 할 수 있어 정당히 큰 p를 고려한 후 하나씩 줄여 나가면서 p를 결정한다.

다중 단위근

두번 이상의 차분을 통하여 정상성을 만족시키는 시계열은 같은 수의 단뒤근이 존재함을 의미함. 이를 다중 단위근이라고 한다.

$\nabla^{2}z_{t} = \alpha + \beta\nabla z_{t-1} + a_{t}$ 의 식을 이용하여 단위근 검정을 수행하고, 두 번의 차분을 통하여 정상시계열이 되는 시계열을 $(1-B)^{2}z_{t} = a_{t}$라 할 때 이 식을 정리하면 $z_{t} = 2z_{t-1} – z_{t-2} + a_{t}$ 와 같고 $z_{t} = \alpha + (2+\beta)z_{t-1} – (1+\beta)z_{t-2}+a_{t}$ 로 정리할 수 있다. 단위근 검정은 $H_{0} : \beta = 0$의 검정이 된다.

문제는 그냥 단순히 test 하고 나몀 p-value가 나오고 p-value 값이 의미가 있게 나왔으니 차분을 해야할지 말아야 할지 이것만으로 결정 할 수 없다. 왜냐면 차분을 한번 한후 ARIMA모형을 쓰면 ARIMA 의 p q 값을 결정하기 위해 잔차를 봐야하고 일련의 작업을 하고 후 여전히 단위근이 있다고 판단이 되면 다시 단위근 테스트를 해야한다.

계절 단위근 검정

DHF 검정을 통하여 계절 단위근 수행한다 $\nabla_{s}Z_{t} = \gamma_{s}Z_{t-s} + \omega_{t}$을 이용하여 계절 단위근 검정은 $H_{0} : \gamma_{s} = 0$의 검정이 된다. 이 검정은 계절 단위근과 비 계절 단위근의 공시 검정이 불가능하다.

차분

추세가 있을 때 어떨 땐 차분을 해야하고 어떨때 추세 축출을 해야 한다.

추세를 가지는 비정상성 시계열은 차분과 추세축출을 통하여 추세를 제거하여 정상 시계열을 만든다.

– 차분을 통한 추세 제거

확률보행 과정을 따르른 모형은 확률적 추세(stochastic trend) 를 가지고 있으며 단위근이 존재한다. 차분을 통해 추세를 제거한다.

– 추세 축출을 이용한 추세제거

시간흐름에 따라 상수의 추세를 가지는 다음의 모형을 trend stationary 모형이라 하며 결정적 추세(deterministic trend)를 가지고 있다. 이와 같은 모형에서 차분을 취하는 경우 추세는 제거되나 가역성 조건(추세를 제거하려구 차분을 했는데 다른 문제 발생)을 위반하게 된다. 시계열 분석을 이용하여 추세를 제거한다.

– 확률적 추세가 존재하는 시도표

– 결정적 추세가 존재하는 시도표

그래프상에서 확률적 추세인지 결정적 추세인지 판단하기 힘들다

참고자료 : Forecasting: Principles and Practice

 

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