3.2 X의 확률분포가 다음과 같다.

x 1 2 4 6 12
f(x) 0.08 0.27 0.10 0.33 0.22
(a) 막대그래프를 그려라

(b) E(X)를 구하여라

$E(X) = 1 \times 0.08 + 2 \times 0.27 + 4 \times 0.10 + 6 \times 0.33 + 12 \times 0.22$
$= 0.08 + 0.57 + 0.4 + 1.98 + 2.64 =5.64$

(c) $P(2 \leq X \leq 7)$을 구하여라

$P(2 \leq X \leq 7)$ = 0.27 + 0.10 + 0.33 = 0.7

 

3.4 다음 확률분포에 대하여 물음에 답하여라

x 0 1 2 3
f(x) 0.3 0.4 0.2 0.1
(a) $P\{X \geq 2\}$ 와 $P\{0 < X \leq 2\}$ 를 구하여라

$P\{X \geq 2\}$ = 0.2 + 0.1 = 0.3

$P\{0 < X \leq 2\}$ = 0.4 + 0.2 = 0.6

(b) E(X), Var(X), sd(X)를 구하여라

$E(X) = 0 \times 0.3 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.2 + 3 \times 0.1 = 0 + 0.4 + 0.4 + 0.3 = 1.1$

$Var(X) = E[(X – \mu)^{2}] = \sum(x_i – \mu)^{2}f(x_{i})$

$= (0 – 1.1)^{2} \times 0.3 + (1 – 1.1)^{2} \times 0.4 + (2 – 1.1)^{2} \times 0.2+ (3 – 1.1)^{2} \times 0.1$

$= 0.363 + 0.004 + 0.162 + 0.361 = 0.89$

$sd(x) = \sqrt{Var(X)} = 0.943$

 

3.5 문제3.1에 대하여 $Y = (2X-8)^{2}$ 이라 하자

(a) X의 분포에서 $E[(2X-8)^{2}]$ 을 구하여라

E(X) = 3.9이고 E(X^{2}) = 16.5 이다

$E[(2X-8)^{2}] = E[(4X^{2} – 32X + 64)] = 4E(X^{2}) – 32E(X) + 64 = 5.2$

(b) Y의 분포를 구하고, Y의 분포에서 E(Y)를 구하여라

X = {2,3,4,5,6} -> ($(2X-8)^{2}$)  -> Y = {0. 4. 16} 이 된다.
X = {2,6} 일 때 Y = {16}
X = {3,5} 일 때 Y = {4}
X = {4} 일 때 Y = {0}
Y = {0,4,16}

y 0 4 16
f(y) 0.3 0.5 0.2

$E(Y) = 0 \times 0.3 + 4 \times 0.5 + 16 \times 0.2 = 5.2$

3.9 연속확률 변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 물음에 답하여라

$f(x) = \begin{cases} k(1-x^{2}), & \mbox{|x|} \leq \mbox{1인경우} \\ 0, & \mbox{x  <  0 또는 x > 1인 경우} \end{cases}$

(a) 상수 k의 값을 정하여라

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ 이므로.

$\int_{-1}^{1}k(1-x^{2})dx = \int_{0}^{1}k(1-x^{2})dx = \dfrac{1}{2}$

$= [kx – \dfrac{k}{3}x^{3}]^{1}_{0} = \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{2}{3}k = \dfrac{1}{2}$

$k = \dfrac{3}{4}$

$1-x^{2}$ 함수는 0으로 좌우 대칭이고 x가 1보다 크거나 -1 보다 작을 때는 음수값이다.

(b) $P\{|X| \leq \dfrac{1}{2} \}$을 구하여라

$P{ |X| \leq \frac{1}{2} } = \int^{\frac{1}{2}}_{-\frac{1}{2}}\frac{3}{4}(1-x^{2})dx$

$= 2 \times \int^{\frac{1}{2}}_{0}\dfrac{3}{4}(1-x^{2})dx$

$= \dfrac{3}{2}[ x – \dfrac{x^{3}}{3} ]^{\frac{1}{2}}_{0} = \dfrac{11}{16}$

(c) E(X), Var(X)를 구하여라

$E(X) = \int^{1}_{-1}x\cdot \dfrac{3}{4}(1-x^{2})dx = \dfrac{3}{4}\int^{1}_{-1}(x-x^{3})dx$

$= \dfrac{3}{4}[\dfrac{1}{2}x^{2} – \dfrac{1}{4}x^{4}]^{1}_{-1} = 0$

$Var(X) = E(X^{2}) – [E(X)]^{2} = \int_{-1}^{1}x^{2}\cdot \dfrac{3}{4}(1-x^{2})dx$

$= \dfrac{3}{2}\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})dx = \dfrac{3}{2}[ \dfrac{1}{3}x^{3} – \dfrac{1}{5}x^{5}]^{1}_{0}$

$= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{15}= \dfrac{1}{5}$

3.10 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 물음에 답하여라

$f(x) = \begin{cases} kx, & 0 \leq x \leq 1 인 경우 \\ 0, & x < 0 또는 x > 1 인 경우 \end{cases}$

(a) 상수 k의 값을 구하여라

$\int_{0}^{1}kx dx = \dfrac{k}{2}[x^{2}]^{1}_{0} = \dfrac{k}{2} = 1$

$k = 2$

(b) E(X), Var(X)를 구하여라

$E(X) = \int^{1}_{0} 2 \cdot x^{2} dx  = \dfrac{2}{3}[ x^{3}]_{0}^{1} = \dfrac{2}{3}$

$Var(X) = E(X^{2}) – [E(X)]^{2} = \int_{0}^{1} 2x^{3}dx – (\dfrac{2}{3})^{2}= \dfrac{1}{2} [  x^{4} ]^{1}_{0} – \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{18}$

(c) $E[(2X-1)^{2}]$ 을 구하여라

$E[(2X-1)^{2}] = 4E(X^{2}) – 4E(X) + 1 = 4 \times \dfrac{1}{2} – 4 \times \dfrac{2}{3} + 1 = 3 – \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}$


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