1 표본공간과 사건

표본공간

실현 가능한 모든 결과들의 집합(S로 표현한다)
예제 1
주사위를 던졌을 때 윗면이 나오는 눈의 수
S = {1,2,3,4,5,6}
예제 2
동전을 한 번 던졌을 때 윗면에 보이는 면
S = {H,T}

사건(event)

표본 공간의 부분집합(A,B,C로 표현한다)
예제 1
주사위를 던졌을 때 짝수가 나오는 사건 A
A = {2,4,6}

2 사건의 확률

확률 정의

N개의 실현 결과로 구성된 표본공간 S = {$e_{1},e_{2},…..,e_{N}$} 에서 각각의 실현 결과가 일어날 가능성이 같다고 가정하자. 이 때 m개의 실현 결과로 구성된 사건 A의 확률은
$P(A) = \dfrac{m}{N}$
으로 정의된다.

예제 1
주사위를 던졌을 때 6의 눈이 나오는 사건 A의 확률은?
$P(A) = \dfrac{1}{6}$

예제 2
3개의 정상제품과 1개의 불량품이 들어있는 상자에서 2개의 제품을 꺼낼 때 불량품과 정상제품이 각각 1개씩 나오는 사건 A의 확률?
정상제품이 a,b,c이고 불량품이 d라면
표본공간 S = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}
사건 A = {(a,d),(b,d),(c,d)}
P(A) = $\dfrac{1}{2}$

예제 1, 2는 “뽑힐 가능성이 동일하다”는 의미가 함축되어 있고, “랜덤하게 추출한다”라고 표현한다.

통계적 규칙성

결과가 불확실한 사건들의 경우 어떤 사건이 실제 발생할 지 불확실함
단기적으로 특정 사간이 발생하는 비율은 매우 변동성이 크다
장기적으로 특정 사건이 발생하는 비율은 안정적이고 예측이 가능하다. 즉 발생 비율의 상대도수는 일정한 상수에 가깝다.

예제 : 통전을 한 번 던지면 앞면이 나올 상대도수 1 또는 0
충분히 많이 던지면 앞면이 나올 상대도수는 0.5에 가까워짐
확률 :  장기적으로 특정 사건이 발생하는 비율로서 상대도수의 극한 개념

사건과 관련된 정의

  • 사건 A와 B의 곱사건(product event) : P(A$\cap$B)
  • 사건 A와 B의 합사건(union event) : P(A$\cup$B)
  • 여사건(complement) : 사건 A가 표본공간에 S에 정의되어 있을 때 A에 포함되지 않는 S의 모든 원소의 집합. $A^{c}$ 로 표기함
  • 사건 A와 B가 서로 배반(disjoint): 두 사건이 동시에 일어날 수 없음. 즉 A$\cap$B = $\varnothing$

확률의 공리

  • 표본공간 S에서의 임의의 사건 A에 대하여 0 $\le$ P(A) $\le$ 1
  • P(S) = 1
  • 서로 배반인 사건 $A_{1}, A_{2}…$ 에 대하여 P($A_{1} \cup A_{2} \cup$…) = P($A_{1}$) + P($A_{2}$) +…

이 세가지 조건을 만족하는 P(A)를 사건 A의 확률이라고 한다.

확률에 관한 성질

  • P($A^{c}$) = 1 – P(A)
  • P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) – P(A $\cap$ B)
  • 서로 배반인 사건 A,B 에 대하여 P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B)
  • 서로 배반인 사건 $A_{1}, A_{2} ….$ 에 대하여 P(A $\cap$ B) = P(A)P(B) (독립이 아닌 경우 만족하지 않음)
  • A $\subset$ B 이면 P(A) $\le$ P(B)

예제 1
두 개의 동전을 던질 때 적어도 한번은 앞면(H)이 나올 확률?
(HH),(HT),(TH),(TT) = $\dfrac{3}{4}$

예제 2
두 자녀가 있는 가정에서 적어도 한 명의 아이가 여자아이일 확률은?
{남,남},{여,여},{남,여},{여,남} = $\dfrac{3}{4}$

예제 3
수업 시간 중 퀴즈로 5개의 보기가 있는 3문제가 주어졌을데 공부를 안 한 학생이 랜덤으로 답을 선택했다면 이 학생이 적어도 2개의 정답을 선택할 확률

0.08 + 0.032 + 0.032 + 0.032 = 0.104

3 조건부 확률

조건부 확률

사건 A가 주어졌을 때 사건 B의 조건부 확률은
P(B|A) = $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 단 P(A) > 0

곱의 법칙 :  두 사건 A와 B에 대하여 P(A) > 0 , P(B) > 0 이면
P(A $\cap$ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

예제 1
두 개의 주사위를 던지는 경우에 첫 번째 던진 주사위의 눈이 두 번째 던진 주사위의 눈보다 클 때 두 주사위의 눈의 합이 10일 확률?
A 사건 : 첫 번째 던진 주사위의 눈이 두 번째 던진 주사위의 눈보다 큰 경우
$A \cap B$ 사건 : 첫 번째 던진 주사위의 눈이 두 번째 던진 주사위의 눈보다 크면서 합이 10일 확률
P(B|A) = $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{36}}{\dfrac{15}{36}} = \dfrac{1}{15}$

예제 2
불량품 20개 , 정상제품 80개로 구성된 로트(lot)에서 랜덤으로 1개씩 두 번 추출하는데 이 때 한 번 꺼낸 것은 다시 넣지 않기로 하면 추출된 2개 모두 불량품일 확률
P(A $\cap$ B) = P(A) $\times$ P(B|A) = $\dfrac{20}{100} \times \dfrac{19}{99}$

예제 3
한 조사에서 5282명의 여성이 다운증후군을 판별하는 테스트를 받았는데 테스트의 정확성은 다음 표에 나타난다.

랜덤하게 선택한 한 여성의 테스트 결과가 양성일 때 실제로 다훈증후군일 확률은?
P(B|A) = $\dfrac{48}{1355}$
$\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{48}{5282}}{\dfrac{1355}{5282}}$

 표본공간 S의 분할
사건 $A_{1},A_{2}…A_{n}$에 대하여 $A_{i} \ca] A_{j} = \varnothing (i \ne for i,j = 1,…,n) 이고 P(A_{1} \cup A_{2} \cup … \cup A_{n}) = S$ 이면 사건 $A_{1}, A_{2},…,A_{n}$를 표본공간 S의 분할이라 함

전확률공식
사건 $A_{1},A_{2},…A_{n}$이 표본공간 S의 분할이고 P($A_{i}$) > 0 이면, 사건 B에 대하여
$P(B) = P(A_{1})P(B|A_{1})+ … + P(A_{n})P(B|A_{n})$

예제 1
어떤 수업의 수강생의 30%는 1학년, 25%는 2학년, 25%는 3학년, 그리고 20%는 4학년이며 그 중 청강생의 비율은 1학년 학생의 50%, 2학년 학생의 30%, 3학년 학생의 10%, 그리고 4학년 학생의 2%일 때 랜덤하게 뽑은 학생이 청강생일 확률?
사건 A : 수업의 각 학년별 수강생
사건 B|A : 학년별 수강생에서 청강생
P(B) = 0.3*0.5 + 0.25*0.3 + 0.25*0.1 + 0.2*0.02

베이즈 정리
사건 $A_{1}.A_{2},….,A_{n}$이 표본공간 S의 분할이고 P($A_{i}$) > 0, P(B) > 0 이면
$P(A_{k}|B) = \dfrac{P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})} = \dfrac{P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}$

예제 1
스프링을 만드는 공장에는 3대의 기계가 있는데 1호기는 전 생산량의 35%, 2호기는 20%, 그리고 3호기는 45%를 생산하고 있고 생산품 중 불량품의 비율은 1호기는 1%, 2호기는 1.3%, 그리고 3호기는 2%임. 생산된 스프링 중 임의로 뽑은 제품이 불량품이라면 이 불량품이 1호기에서 생산 되었을 확률?
$P(A_{1}) = 0.35$
$P(A_{2}) = 0.2$
$P(A_{3}) = 0.45$
$P(B|A_{1}) = 0.01$
$P(B|A_{2}) = 0.013$
$P(B|A_{3}) = 0.02$
$P(A_{1}|B) = \dfrac{0.35 * 0.01}{0.35*0.01 + 0.2*0.013 + 0.45*0.02} = \dfrac{0.0035}{0.0151} = 0.23$

예제 2
보험회사에서는 가입자를 사고성향이 있는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누는데 이 보험회사의 가입자들 중 20%는 사고성향이 있다고 하며, 사고성향이 있는 경우 1년 동안 실제로 사고를 일으킬 확률이 3%이고 그렇지 않은 경우 2%라 한다(이 가정은 가입기간과 연관이 없음). 어떤 신규가입자가 가입 첫 해에 사고를 냈다면 그가 사고성향이 있을 확률
$P(A_{1}) = 0.2$
$P(A_{2}) = 0.8$
$P(B|A_{1}) = 0.03$
$P(B|A_{2}) = 0.02$
$P(A_{1}|B) = \dfrac{0.2*0.03}{0.2*0.03 + 0.8*0.02} = 0.27$

4 독립사건

A와 B가 독립
한 사건의 결과가 다른 사건에 영향을 미치지 않는다
– P(B) > 0 일 때, P(A|B) = P(A)
– P(A) > 0 일 때, P(B|A) = P(B)
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

예제 1
다운증후군 자료에서 테스트가 양성인 사건(A)과 실제 다운증후군인 사건(B)은 독립인가?
$P(A) = \dfrac{1355}{5282}$
$P(B) = \dfrac{54}{5282}$
$P(A \cap B) = \dfrac{48}{5282}$ < 테스트가 양성이면서 다운증후군인 확률
$P(A|B) = \dfrac{48}{54}$

예제 2
52장 카드에서 2장의 카드를 뽑을 때 첫 카드가 하트인 사건(A)과 두 번째 카드가 에이스인 사건(B)은 독립인가?
$P(A) = \dfrac{1}{4}$
$P(B) = \dfrac{1}{13}$

5. 연습문제

<문제 2.3>
1개의 동전을 3번 던질 때 다음의 확률을 구하여라
(a) 2개의 표면을 얻을 확률
(b) 적어도 1개의 표본을 얻을 확률
(c) 표면의 개수가 이면의 개수보다 적게 나타날 확률

해설
표본공간 S = {(H,H,H),{H,H,T}.(H,T,H),(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H)}
a) 2개의 표면을 얻을 사건은 {(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)} 로 확률은 $\dfrac{3}{8}$
b) 적어도 1개의 표본을 얻을 사건은
(H,H,H), (H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,T,H),(T,H,T),(T,H,H) 로 확률은 $\dfrac{7}{8}$
c) 표본의 개수가 이면의 개수보다 작거 나타날 사건은
(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,T) 로 확률은 $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

<문제 2.4>
트럼프의 카드(52매) 중에서 임의로 1매를 뽑을 때 에이스일 사상을 A, 스페이드일 사상을 B라 하자.
(a) A와 B는 서로 배반인가?
(b) A, B중 적어도 하나가 나타날 확률을 구하여라
(c) $A \cap B$의 확률을 구하여라

해설
A 사건 확률 $P(A) = \dfrac{1}{4}$
B 사건 확률 $P(B) = \dfrac{1}{4}$
a) 사건 A, B 가 동시에 일어날 확률 $P(A \cap B) = \varnothing$ 으로 배반이다.
b) A사건 13, B사건 13으로 $\dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}$
c) 두 사건은 배반으로 $P(A \cap B) = \varnothing$

<문제 2.6>
어떤 고교생이 A대학과 B대학에 입학원서를 제출했다. 만일 그 학생이 A대학에 입학할 확률은 0.7, B 대학에 입학할 확률은 0.5, A대학, B대학 어느 곳에도 불합격될 확률이 0.2일 때 어느 한 대학에 입학할 확률을 구하시오

해설
어느 한 대학에 입학할 확률로 P(A $\cup$ B) 으로  볼 수 있고, 어느 곳에도 불합격될 확률이 0.2기 때문에 1 – 0.2 = 0.8 이다.

<문제 2.7>
공장한 동전을 N회 던지는 실험에서
(a) 제 N회에 표면이 나올 확률을 구하여라
(b) 처음부터 N – 1회까지 표묜이 나왔다는 조건하에 N회에 표면이 나올 확률을 구하여라

해설
1회에 표면이 나올 확률 $\dfrac{1}{2}$
2회에 표면이 나올 확률 $\dfrac{1}{4}$
3회에 표면이 나올 확률 $\dfrac{1}{8}$
N회에 표면이 나올 확률 $\dfrac{1}{2^{N}}$

<문제 2.9>
R상자에는 4개의 파란구슬과 5개의 흰구슬이 들어 있고, L 상자에는 5개의 파란구슬과 4개의 흰구슬이 들어 있다. L상자에서 랜덤하게 한개의 구슬을 꺼내 R 상자로 옮긴 다음 R 상자에서 한 개의 구슬을 꺼낼 떄, 그것이 파란구슬일 확률을 구하여라.

해설
$P(A_{1})$ L상자에서 파란구슬을 꺼낼 확률 $\dfrac{5}{9}$
$P(A_{2})$L상자에서 흰구슬을 꺼낼 확률 $\dfrac{4}{9}$
$P(B|A_{1})$ = $\dfrac{5}{9}\times\dfrac{5}{10} = \dfrac{25}{90}$
$P(B|A_{2})$ = $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{4}{10} = \dfrac{16}{90}$
$\dfrac{25}{90} + \dfrac{16}{90} = \dfrac{41}{90}$

<문제 2.11>
어떤 대학의 1학년 학생 가운데 40%는 재수경험이 없고 나머지 60%는 재수경험이 있다고 한다. 전자의 20% 후자의 30%가 학년말 고사성적이 A이다. 어떤 학생의 성적이 A일 때, 그 학생이 재수경험자일 확률을 구하여라.

해설
재수경험이 없는 사건 : $P(A_{1}) = 0.4$
재수경험이 있는 사건 : $P(A_{2}) = 0.6$
재수경험이 없고 학년말 고사성적이 A 인 사건 : $P(B|A_{1}) = 0.2$
재수경험이 있고 학년말 고사성적이 A인 사건 : $P(B|A_{2}) = 0.3$
$\dfrac{0.6 \times 0.3}{0.4 \times 0.2 + 0.6 \times 0.3} = \dfrac{0.18}{0.08 + 0.18} = 0.692$

<문제 2.13>
주사위를 두 번 던질 때, 첫번째 4가 나오는 사상과 두번 던져 나온 눈의 수의 합이 홀수인 사상이 서로 독립인가 를 말하여라

해설
첫번째 4가 나오는 사건 : $P(A) = \dfrac{1}{6}$
두번 던져 나온 수의 합이 홀수인 사건 : $P(B) = \dfrac{1}{2}$
첫번째가 4가 나오면서 두수의 합이 홀수인 사건 $P(A \cap B) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$
즉 A의 사건의 결과는 B의 사건에 영향을 미치지 않고,
$P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{12} = P(A \cap B)$ 이다 그래서 사건 A와 B는 독립니다.


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