수리통계 – 베이즈정리

베이즈 정리

사건 $B_{1}, B_{2}, …. B_{k}$ 는 상호배반이며 $(B_{i} \cap B_{j} = \emptyset, i \neq j).$
$\bigcup_{i=1}^k B_{i} = S$ 라고 하자. 이때 사건 A가 일어났다는 조건하에 사건 $B_{j}$ 가 일어날 확률은
$P(B_{j}|A) = \frac{P(B_{j})P(A|B_{j})}{\sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_{i})}$
로 주어진다

(증명)

$P(B_{j}|A) = \frac{P(A \cap B_{j})}{P(A)} = \frac{P(B_{j})P(A|B_{i})}{P(A)}$ 가 성립한다.
그런데 전확률 공식인
$P(A) = \sum_{i=1}^k P(B_{i})P(A|B_{i})$ 에 의해서
$P(B_{j}|A) = \frac{P(B_{j})P(A|B_{j})}{\sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_{i})}$ 와 같은 결과가 나온다

ex)

어떤 질명 A에 대한 양성(+)과 음성(-) 반응을 나타내는 검사방법이 있다. 이 검사 방법은 실제로 질병이 있을 경우 양성반응을 나타낼 확률이 P(+|A) = 0.85 이며,
질병이 없을 경우에 양성반응을 나타낼 확률이 $P(+ | A^{c})$ = 0.10 이라고 한다. 그런데 어떤 집단에서 무작위추출한 사람이 질병을 가지고 있을 확률은 P(A) = 0.01이다.
이제 어떤 사람이 검사반응에서 양성(+)을 나타냈을 때, 그 사람이 실제로 질병 A를 가졌을 확률은?
$P(A|+)=\frac{P(A\cap +)}{P(+)}$
$=\frac{P(+|A)P(A)}{P(+|A)P(A) + P(+|A^{c})P(A^{c})}$
$=\frac{0.95*0.01}{0.95*0.01+0.10*0.99}$
$0.088$

계산 결과를 보면 P(+|A) = 0.95로 높은 데 비해서 P(A|+) = 0.088로 많이 낮음을 알 수 있다.
이것은 A의 무조건부 확률, P(A) 가 0.01로 낮기 때문인데, 그렇더라도 P(A|-) = 0.00056에 비하면 높은 수치이다.

ex)

각각 1, 2, 3으로 번호가 붙은 세 개의 주머니가 있는데, 그 안에 5개의 공이 들어있다. 그런데 주머니 i에는 i개의 하얀 공과 (5-i)개의 검은 공이 들어 있다.
주머니 하나를 무작위로 뽑고, 뽑힌 주머니 안에서 한 개의 공을 무작위로 꺼내는 실험을 할 때, 하얀 공이 뽑힐 확률을 구하고,
또 하얀 공이 봅혔다는 조건하에 뽑힌 하얀 공이 3번 주머니에서 나왔을 확률은?
사건 A 는 하얀 공이 뽑히는 사건
사건 B는 주머니 i가 뽑히는 사건
하얀 공이 뽑일 확률은
$P(A) = \sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(A|B) = \sum_{i=1}^{3}[\frac{1}{3}][\frac{i}{5}] = \frac{6}{15}$

또한 베이즈 정리에 의하여
$P(B_{3}|A) = \frac{P(B_{3})P(A|B_{3})}{\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(A|B_{i})}$
$=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}}{\frac{6}{15}}=\frac{1}{2}$

정의 3)

두 사건 A와 B가
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
를 만족시키면 서로 독립이라고 한다.

ex 3_1)

52장으로 이루어진 한 벌의 카드묶음에서 1장의 카드를 무작위로 추출할 때 ‘king’을 뽑는 사건을 K, ‘diamond’를 뽑는 사건을 D
$P(K\cap D) = \frac{1}{52} = \frac{1}{13}\cdot\frac{1}{4} = P(K)\cdot P(D)$ 이므로
두 사건 K와 D는 서로 독립이다.

정의 4)

n개의 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 이 있다.
1부터 n까지의 자연수 중에서 가능한 임의의 k개의 첨자집합(index set) $i_{1}, i_{2}, \cdot \cdot \cdot, i_{k} (k = 1, \cdot \cdot \cdot, n)에 대하여$
$P(A_{i1} \cap A_{i2} \cap \cdot \cdot \cap A_{ik} = P(A_{i1})P(A_{i2})\cdot \cdot P(A_{ik})$
가 성립하면 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 은 서로 독립이다

ex 4)

동전을 3회 던져다고 하자. $H_{1}$을 첫 번째 던진 결과가 앞면(H)일 사건, $T_{2}$를 두 번째 던진 결과가 뒷면(T)일 사건, $H_{3}$를 세 번째 던진 결과가 앞면(H)일 사건이라고 하자. 각 시행에서 앞면이 나올 확률은 1/2로 동일 하다.
$P(H_{1} = P(T_{1}) = P(H_{3}) = \frac{1}{2}$
$P(H_{1}\cap T_{2}) = P(HTH,HTT) = \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(H_{1})\cdot P(T_{2})$
이므로 두 사건 $H_{1}$ 과 $T_{2}$는 서로 독립이다.
$P(H_{1}\cap H_{3}) = \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(H_{1})\cdot P(H_{3})$
$P(T_{2}\cap T_{3}) = \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(T_{2})\cdot P(H_{3})$
두 사건 $H_{1}$ 과 $T_{3}$, $H_{2}$ 과 $T_{3}$는 서로 독립이다.
$P(H_{1}\cap H_{2}\cap T_{3}) = P(HTH) = \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=P(H_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(H_{3})$
가 성립하므로 $H_{1},T_{2},H_{3}$ 는 서로 독립이다.

“수리통계 – 베이즈정리”의 24개의 댓글

  1. Hello there I am so excited I found your weblog, I really found you by mistake, while
    I was researching on Bing for something else, Anyhow I am here now
    and would just like to say cheers for a incredible post and a all round enjoyable blog (I also love the theme/design), I don’t have time to read through it all at the moment
    but I have book-marked it and also added in your RSS feeds,
    so when I have time I will be back to read much more, Please do keep up the
    awesome work.

  2. Write more, thats all I have to say. Literally, it seems as though
    you relied on the video to make your point.

    You clearly know what youre talking about, why waste your intelligence
    on just posting videos to your weblog when you could be giving us something informative
    to read?

  3. You can definitely see your enthusiasm within the work you write.
    The arena hopes for more passionate writers like you who are not afraid to say how they believe.
    Always follow your heart.

  4. I truly love your site.. Great colors & theme.

    Did you make this amazing site yourself? Please reply back as I’m attempting to create
    my own personal site and want to find out where you got this from or just what the theme is named.
    Kudos!

    Here is my site BodyCore Keto

  5. I know this if off topic but I’m looking into starting my
    own weblog and was wondering what all is required to get setup?
    I’m assuming having a blog like yours would cost a pretty penny?
    I’m not very web savvy so I’m not 100% sure. Any tips or advice would be greatly appreciated.
    Kudos

    Also visit my web-site: 360X CBD

  6. We’re a group of volunteers and starting a new scheme in our community.
    Your site provided us with valuable information to work on. You’ve done a formidable job and our whole community
    will be thankful to you.

    Feel free to visit my webpage: Leaf Max CBD

  7. Definitely imagine that which you stated. Your favorite
    reason seemed to be on the net the simplest factor
    to be aware of. I say to you, I definitely get annoyed while people consider worries that they plainly don’t understand about.
    You managed to hit the nail upon the highest as
    neatly as outlined out the entire thing with no need side effect
    , people could take a signal. Will likely be back to
    get more. Thanks

  8. Can I just say what a relief to find an individual
    who actually understands what they are discussing online.
    You certainly understand how to bring an issue to light and make it important.
    A lot more people need to read this and understand this side of your story.
    It’s surprising you aren’t more popular because you certainly have
    the gift.

  9. I used to be suggested this blog by means of
    my cousin. I’m no longer certain whether this put up is written by him as no one else recognize such targeted approximately my trouble.
    You are incredible! Thanks!

    Here is my web page; Xoth Keto

  10. We would like to thank you yet again for the wonderful ideas you offered Jeremy when preparing a post-graduate
    research and, most importantly, pertaining to providing all of the ideas in a single blog post.
    In case we had known of your blog a year ago, we
    might have been rescued from the useless measures we were selecting.
    Thanks to you.

    My web page; ACV Rx Review

답글 남기기