수리통계 – 사건의 독립과 독립확률변수

1. 사건의 독립

어떤 사건 A가 일어 났다는 사실이 사건 B가 일어 날 영향을 미치지 않고, 반대의 상황도 영향을 미치지 않으면 두 사건 A,B는 서로 독립이다라고 한다.

<두개의 사건>

1) 정의

두 사건 A와 B가

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

를 만족시키면 서로 독립이라고 한다.

2) 예제

52장으로 이루어진 한 벌의 카드묶음에서 1장의 카드를 무작위로 추출할 때 king를 뽑는 사건을 K, diamind를 뽑는 사건을 D라고 하면

$P(K\cap D) = \frac{1}{52} = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{4} = P(K)\cdot P(D)$

이으로 두사건 K와 D는 서로 독립이다.

<N개의 사건>

1) 정의

n개의 사건 $A_{1}, A_{2},\cdot\cdot\cdot A_{n}$ 이 있다. 이제 1부터 n까지의 자연수중에서
가능한 임의의 k개의 첨자집합(index set) $i_{1},i_{2},\cdot\cdot\cdot i_{k} (k=1,\cdot\cdot\cdot,n)$에 대하여

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap\cdot\cdot\cdot A_{i_{k}}) = P(A_{i_{1}})P(A_{i{2}})\cdot\cdot\cdot P(A_{i_{k}})$

가 성립하면 사건 $A_{1},A_{2}\cdot\cdot ,A_{n}$ 은 서로 독립이다.

2) 예제

동전 3회를 던졌다고 하자. $H_{1}$을 첫 번째 던진 결과가 앞면(H) 일 사건 $T_{2}$를, 두번째 던진 결과가 뒷면(T)일 사건, $H_{3}$을 세 번째 던진 결과가 앞면(H)일 사건이라고 하자. 각 시행에서 앞면(H)이 나올 확률은 1/2로 동일하다고 한다. 그러면

$P(H_{1})=P(T_{2})=P(H_{3}) = \frac{1}{2}$

$P(H_{1}\cap T_{2}) = P(HTH, HTT) = \frac{2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(H_{1})\cdot P(T_{2})$

이므로 두 사건 $H_{1}$과 $T_{2}$는 서도 록립니다.

$P(H_{1}\cap H_{3}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(H_{1})\cdot P(H_{3})$

$P(T_{2}\cap H_{3}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(T_{2})\cdot P(H_{3})$

이므로 두 사건 $H_{1}$ 과 $H_{3}$, $T_{2}$와 $H_{3}$는 서로 독립이다.
마지막으로

$P(H_{1}\cap T_{2}\cap H_{3}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(H_{1})\cdot P(T_{2})\cdot P(H_{3})$

가 성립하므로 세 사건 $H_{1}, T_{2}, H_{3}$는 서로 독립이다.

2. 독립확률 변수

1-1) 정의(확률변수)

두 확률변수 X와 Y는 임의의 실구간 A와 B에 대하여
$P(X\in A, Y\in B) = P(X\in A)\cdot P(Y\in B)$ 가 성립할 때 서로 독립이다.

그런데 $X\in A$와 $Y\in B$는 사건을 나타내므로 앞의 정의는 두 사건 사이의 독립을 옮긴 것으로 볼 수 있다.

1-2) 정의(확률밀도함수)

두 확률변수 X와 Y가 서로 독립일 필요충분조건은
$f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$ 이다

2-1) 예제

두 변수 X,Y의 결합 확률 밀도함수가

$f_{X,Y}(x,y) = \frac{2^{x+y}e^{-4}}{x!y!}, x.y=0. 1. 2. \cdot\cdot\cdot$

으로 주어졌을 때, X와 Y의 주변 확률밀도함수는 각각

$f_{X}(x) = \sum_{y}f_{X,Y}(x,y)=\frac{2^{x}e^{-2}}{x!}, x=0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot$

$f_{Y}(y) = \sum_{x}f_{X,Y}(x,y)=\frac{2^{y}e^{-2}}{y!}, y=0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot$

으로 계산되므로 $f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{y}(y)$ 가 성립된다. 따라서 X와 Y는 서로 독립이다.

2-2) 예제

두변수 X,Y의 결합 확률 밀도함수가

$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases}
\frac{1}{2},\quad 0\le x \le y \le 2, \\
0,\quad\  다른경우 \end{cases}$

로 주어진다면, X와 Y의 주변 확률밀도 함수는 각각

$f_{x}(x) = \int_{x}^{2}\frac{1}{2}dy = \frac{1}{2}(2-x),  0\le x \le 2$

$f_{Y}(y) = \int_{0}^{y}\frac{1}{2}dx = \frac{1}{2}(y),\quad 0\le y \le 2$

가 되어 $f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{y}(y)$ 가 성립하지 않는다. 따라서 X와 Y는 서로 독립이 아니다.

 

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