칼만필터 – kalman filter

칼만필터(kalman filter)

1. 정의

잡음이 포함되어 있는 측정치를 바탕으로 상태를 추정하는 재귀 필터
과거의 수행한 측정값을 바탕으로 현재의 상태 변수의 결합 분포를 추정

2. 모델

이산시간 선형 동적 시스템을 기반으로 동작한다.
특정 시간 k에서의 상태 벡터를 $X_{k}$ 라고 정의하고 , 또한 그 시간에서의 사용자 입력을 $U_{k}$ 라고 정의 할 때, 다음과 같은 관계식을 가정하고 있다.
$X_{k} = F_{k}X_{k-1} + B_{k}U_{k} + w_{k}$

3. 구조

재귀적으로 동작한다. 즉 바로 이전 시간에 추정한 값을 토대로 현재의 값을 추정하며, 바로 이전 시간 외의 측정값이나 추정값은 사용하지 않는다.
예측단계 : 이전 시간에 추정된 상태에 대해, 그 상태에서 사용자 입력을 가했을 때 예상되는 측정값을 계산한다.
보정단계 : 앞서 예측된 측정값과 실체 측정값을 토대로 현 시스템에 따라서 보정단계가 가끔씩 일어날수 있고, 이때에는 예측단계가 여러번 수행되다가 보정단계가 수행된다.
각 시간의 추정 상태는 평균과 분산의 두 개의 변수로 표현된다.
$\bullet \hat{X}_{n|m}$ : m 시점의 측정값을 토대로 한 n 시점의 상태 추정값
$\bullet P_{n|m}$ : m 시점의 측정값을 토대로 한 n 시범의 상태 공분산행렬

3-1. 예측단계 계산식

연역적 상태 예측 : $\hat{X}_{k|k-1} = F_{k}\hat{X}_{k-1|k-1}+B_{k}u_{k}$
연역적 공분산 예측 : $P_{k|k-1} = F_{k} P_{k-1|k-1}F_{k}^{T} + Q_{k-1}$

3-2. 보정단계 계산식

예측 단계와 실제 측정간의 잔차 : $\hat{Y}_{k} = Z_{k} – H_{k}\hat{X}_{k|k-1}$
잔차의 공분산 : $S_{k} = H_{k}P_{k|k-1}H_{k}^{T}+R_{k}$
최적 칼만 이득(Kalman gain) : $K_{k} = P_{k|k-1}H_{k}^{T}S_{k}^{-1}$
귀납적 상태 보정 : $\hat{X}_{k|k} = \hat{X}_{k|k-1} + K_{k}\hat{Y}_{k}$
귀납적 상태 공분산 보정 : $P_{k|k} = (I – K_{k}H_{k})P_{k|k-1}$

4. 예제

어떤 트럭이 마찰력이 없는 x축 공간에 있다. 이 트럭은 처음에는 원점 위치에 정지하고 있지만, 이후 임의로 가해지는 미지의 가속도를 받으면서 움직인다. 관찰자는   시간 간격으로 트럭의 위치를 측정하지만, 이 측정값은 정확하지 않고 실제 트럭의 위치와는 어느 정도 차이가 있을 수 있다. 이 때, 관찰자는 칼만 필터를 이용해서 부정확한 측정값을 기반으로 트럭의 실제 위치를 추정할 수 있다.

우선, 트럭의 움직임에 대한 관계식 을 알맞게 이끌어내야 한다. 트럭의 상태를 나타내는 벡터 는 그 트럭의 위치와 속도로 나타내면 적당하다. 즉, 해당 벡터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기에서 는 시점 k에서의 위치, 는 시점 k에서의 속도를 의미한다. 는 트럭에 임의로 가해지는 미지의 가속도를 표시한다.

뉴턴의 운동법칙에 의해,  사이에는 다음과 같은 관계식이 근사적으로 성립한다.


이것을 로 표현하면 다음과 같다.




이 모델의 경우 ,  등의 값이 시간 k에 관계없이 일정하다. 이러한 상수의 경우 첨자를 생략하여 표기하였다.

여기에서 가 평균이 0이고 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 가정하면, 잡음 변수 는 평균이 0이고 공분산이 (가 상수이므로 성립한다)
라는 것을 구할 수 있다. 이렇게 해서 트럭의 움직임에 대한 관계식을 유도했다.

그 다음에는 측정에 대한 관계식을 유도한다. 측정 잡음 가 평균이 0이고 표준편차가 인 정규 분포를 따른다고 가정하면,



가 얻어진다.

트럭의 초기 위치와 속도는 0이라고 가정했으므로, 초기 변수를 다음과 같이 놓을 수 있다.


만약에 트럭의 초기 상태를 알지 못한다면, 불확실성을 의미하는 공분산행렬  는 다음과 같이 적당히 큰 값으로 초기화하면 된다.

 

 

 

 

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