통계 수학 – 조건부 확률 및 확률 분포

조건부 확률이란

사건 B가 일어났다는 조건 하에 사건 A가 일어날 확률로 P(A|B) 표현한다.

정의1)

사건 A, B가 표본 공간 S 상에 정의되어 있으며 P(B) > 0 라고 하자. 이때 B가 일어났다는 가정하에 사건 A가 일어날 확률은
P(A|B) = $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ex1)

두 개의 동전을 던릴 때 표본공간 S = {HH, HT, TH, TT} 는 4개의 원소로 구성된다. 각 원소는 동일한 확률 1/4를 갖는다. 첫 번째 동전이 앞면(H)라는 조건하에 두 개의 동전이 모두 앞면(H)일 조건부 확률은?
$P(A\cap B) | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(HH)}{P(HH,HT)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

정의 2)

서로 배반인 두 사건 $A_{1} 과 A_{2}$ 에 대하여
$P(A_{1} \cup A_{2} | B) = \frac{P[(A_{1} \cup A_{2}) \cap B]}{P(B)}$
$= \frac{P{(A_{1} \cap B) \cup (A_{2} \cap B)}}{P(B)}$
$= \frac{P{(A_{1} \cap B) + (A_{2} \cap B)}}{P(B)} \quad (\because (A_{1} \cap B) \cap (A_{2} \cap B) = \emptyset)$
$= P(A_{1} | B) + P(A_{2} | B)$

두개 이상의 사건인 경우
$P( A^c | B ) = 1 – P(A | B)$
$P( \emptyset | B ) = 0$
$A_{1} \subset A_{2} 이면 P(A_{1} | B) \leq P(A_{2} | B)$
$P(A_{1} \cup A_{2} | B) = P(A_{1} | B) + P(A_{2} | B) – P(A_{1} \cap A_{2} | B)$

ex2_1)

두 개 주사위를 던지는 실험을 보면 표본 공간은 36개가 나온다.
\begin{matrix}
(1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\
(2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\
(3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\
(4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\
(5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\
(6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\
\end{matrix}

‘두 주사위의 눈의 합이 7’인 사건을 B라 하고,
‘첫째 주사위의 눈이 짝수’인 사건을 $A_{1}$,
‘첫째 주사위의 눈이 3의 배수인 사건’을 $A_{2}$

$P(A_{1}\cup A_{2}|B) = P((A_{1}\cup A_{2}) \cap B|B) = P((A_{1}\cap B) \cup (A_{2} \cap B)|B)$
$=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}$
$=P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B) – P(A_{1}\cap A_{2}|B)$

ex2_2)

어떤 주머니에 w개의 하얀 공과 b개의 검은 공이 들어 있다. 하나의 공을 꺼내 그 색깔을 확인한 다음, 꺼냈던 공과 함께 같은 색깔의 공을 주머니에 a개 더 넣는다고 한다. 이러한 과정을 n회 계속한다. 이제, $W_{i}$ 와 $B_{i}(i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot , n)$ 를 각각 i번째 꺼낸 공이 하얀공일 사건과 검은 공일 사건이라고 하자. $W_{I}$ 와 $B_{i}$ 는 서로 배반이며, k번째 공을 꺼낼 때 주머니 속에 있는 공의 수는 w+b+(k-1)a 이므로, 어떤 특정한 공을 뽑을 확룰은 $[w+b+(k-1)a]^{-1}$ 여기에서 $P(W_{1} \cap W_{2})$ 은
$P(W_{1} \cap W_{2}=P(W_{1})P(W_{2}|W_{1})$ 으로 구할수 있다.
$P(W_{1})=\frac{w}{b+w}, P(W_{2}|W_{1}) = \frac{w+a}{b+w+a}$
$P(W_{1}\cap W_{2}) = \frac{w}{b+2}\cdot\frac{w+a}{b+w+a}$ 이다.

마찬가지로
$P(B_{1}\cap W_{2})=\frac{b}{b+w}\cdot\frac{w}{b+w+a}$ 이므로
$P(W_{2})=P(W_{1}\cap W_{2})+P(B_{1}\cap W_{2})$
$=\frac{w}{b+w}\cdot\frac{w+a}{b+w+a}+\frac{b}{b+w}\cdot\frac{w}{b+w+a}$
$=\frac{w}{b+w}$ 이다.
따라서 $P(W_{1}) = P(W_{2})$ 가 되며, 마찬가지 방법으로 $P(B_{1}) = P(B_{2})$ 가 성립한다.

ex2_3)

주머니 속에 빨간 공이 1개, 하얀 공이 9개 들어 있다. 이제 1개의 공을 무작위 비복원추출 하면, 4번째 추출한 공이 빨간 공일 확률을 구해보자.
$R_{4}$를 4번째 추출한 공이 빨간색일 사건, $W_{i}$를 i번째(i = 1,2,3) 출한 공이 하얀색일 사건이라고 표기하자. 이때 빨간 공이 하나뿐이고 추출방법이 비 복원이므로 4번재 빨간공을 뽑을 사건은 $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}\cap R_{4}$ 로 표현될 수 있다.
$P(W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}\cap R_{4})$
$P(W_{1})P(W_{2}|W_{1})P(W_{3}|W_{1}\cap W_{2})P(R_{4}|W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3})$
$=[\frac{9}{10}][\frac{8}{9}][\frac{7}{8}][\frac{1}{7}]$
$=\frac{1}{10}$

 

전 확률 공식

사건 $B_{1}, B_{2}, …., B_{k}$ 는 상호배반이며 $(B_{i} \cap B_{j} = \emptyset, i \neq j).$
$\bigcup_{i=1}^k B_{i} = S$ 라고 하자. 이때 임의의 사건 A에 대하여,
$P(A) = \sum_{i=1}^k P(B_{i})P(A|B_{i})$
가 성립한다.

(증명)

$P(A) = P(A \cap S)$
$= P[A \cap (\bigcup_{i=1}^k B_{i})] = \sum_{i=1}^k P(A \cap B_{i}) = \sum_{i=1}^k P(B_{i})P(A|B_{i})$

ex)

어떤 공장에 세 개의 생산라인이 있으며, 이들은 각각 전체 생산품의 50%, 30%, 20%를 만들어내며, 각각 2%, 5%, 10%의 불량품을 생산한다.
이제, 어떤 제품을 무작위로 추출하였을 때 불량품일 확률은?
무작위로 추출된 제품이 50%생산라인으로부터의 것일 사건을 A
30% 생산라인으로부터의 것일 사건을 B
20% 생상라인으로부터의 것일 사건을 C
무작위로 추출한 제품이 불량품일 사건을 D라고 표기하면
P(D) = P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
= 0.5*0.02 + 0.3*0.05 + 0.2*0.10
= 0.045

경우의 수

곱의 법칙

사건 A가 일어나는 방법이 m가지이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 방법이 n가지이면, 사건 A와 B가 동시에 일어나는 방법은 m * n 가지이다.

순열

서로 다른 n개의 원수중에서 r개를 선택하여 순서 있게 늘어놓는 것

$_{n}\mathrm{P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

조합

서로 다른 n개의 원소 중에서 순서에 관계없이 r개를 선택할 때 이 r개로 이루어진 각각의 집합

$_{n}\mathrm{C}_{r} = {n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ex 이항정리)

이항 전개식

$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{k}b^{n-k}$
으로부터 이항계수 ${n choose k}$ 는 $(a+b)^{n}$의 전개식에서 $a^{k}b^{n-k}$의 계수가 됨을 알 수 있다.
a=b=1을 택함으로써
$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} = (1+1)^{n} = 2^{n}$

ex 다항정리)

다항 전개식
$(a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})^{n} = \sum_{r_{1}+\cdot\cdot+r_{k} = n}{n \choose r_{1}r_{2}\cdot\cdot r_{k}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdot\cdot a_{k}^{r_{k}}$
으로 부터 다항계수 ${n \choose r_{1}r_{2}\cdot\cdot r_{k}}$ 는 $(a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{k})^{n}$ 의 전개에서
$a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdot\cdot a_{k}^{r_{k}}$ 의 계수가 됨을 알 수 있다.

ex)

n개의 공을 n개의 바구니에 임의로 넣을 때 모든 바구니가 한 개씩의 공을 갖게 될 확률은, n개의 공을 n개의 바구니에 임의로 넣는 경우의 수가 $n^{n}$ 이고,
모든 바구니가 한 개씩의 공을 갖게 될 경우의 수가 $(n)*(n-1)*\cdot\cdot*1$이므로 $frac{n!}{n^{n}}$ 이다.

ex)

k개의 공을 n(n > k)개의 바구니에 임의로 넣을 때 모든 바구니가 한 개 이하의 공을 갖게 될 확률은, k개의 공을 n개의 바구니에 임의로 넣는 경우의 수는 $n^{k}$ 이고 모든 바구니가 한 개 이항의 고을 갖게 될 경우의 수가 $(n)*(n-1)*\cdot\cdot*(n-k+1)$이므로 $\frac{n!}{_{n}\mathrm{P}_{k}}$ 이다.

ex)

어떤 주머니에 하얀 공이 5개, 검은 공이 10개 들어 있다. 이 주머니에서 3개의 공을 무작위로 추출하였을 때, 하얀공이 2개, 검은공이 1개 뽑일 확률은?

복원추출인 경우(순서를 고려하는 방법)

추출순서를 고려하여 전체 가능한 가짓수는 $15^{3}$
순서를 고려할 때 하얀공이 2개, 검은 공이 1개 뽑히는 방법의 가짓수는 각각 $5^{2}, 10^{1}$ 이다.
그러나 하얀 공을 뽑는 사건을 W, 검은 공을 뽑는 사건을 B로 표기할 때, WWB, WBW, BWW 모두 구하는 사건에 해당하므로 곱의 법칙에 의해
하얀 공이 2개, 검은 공이 1개 뽑히는 방법은 $3\cdot 5^{2}\cdot 10^{1}$ 가지이다. 따라서 구하는 확률은
$\frac{3\cdot 5^{2}\cdot 10^{1}}{15^{3}}$

비복원 추출인 경우(순서를 고려하지 않는 방법)

전체 15개의 공에서 순서에 관꼐없이 3개의 공을 추출하는 방법은 ${15 \choose 3}$ 가 있으며, 하얀 공이 2개, 검은 공이 1개 뽑히는 방법의 가짓수는 각각
${5 \choose 2}, {10 \choose 1}$이다. 곱의 법칙에 의해 하얀 공이 2개, 검은 공이 1개 뽑히는 방법의 가짓수는 ${5 \choose 2}{10 \choose 1}$ 가지이며,
따라서 구하고자 하는 확률은
$\frac{{5 \choose 2}{10 \choose 1}}{{15 \choose 3}}$ 이 된다.

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